1958 AMC 12 第 21 题

Question

在附图中，

\overline{CE}

和

\overline{DE}

是圆心为

O

的圆的两条等弦。弧

AB

是四分之一圆周。则三角形

CED

与三角形

AOB

的面积之比为：

In the accompanying figure

\overline{CE}

and

\overline{DE}

are equal chords of a circle with center

O.

Arc

AB

is a quarter-circle. Then the ratio of the area of triangle

CED

to the area of triangle

AOB

is:

\sqrt2:1

\sqrt3:1

4:1

3:1

2:1

答案：E

知识点：弦圆三角形面积面积比

难度评级：1590

小提示：

从

E

出发的两条等弦使图中的三角形关于垂直直径对称

The equal chords from

E

make the pictured triangle symmetric about the perpendicular diameter

大提示：

用圆的半径表示并比较两个三角形的底乘高面积

Compare each triangle’s base-height area in terms of the circle radius

解答：

设圆的半径为

r

。在图示位置中，

\overline{CD}

是直径，

E

是与它垂直的半径的端点，因此

[CED]=\frac12(2r)(r)=r^2\text{。}

由于弧

AB

是四分之一圆周，

\angle AOB=90^\circ

，且

[AOB]=\frac12r^2\text{。}

所求比为

2:1

。

所以正确答案为 E。

Let the circle have radius

r.

In the pictured configuration,

\overline{CD}

is a diameter and

E

is the endpoint of the perpendicular radius, so

[CED]=\frac12(2r)(r)=r^2.

Since arc

AB

is a quarter-circle,

\angle AOB=90^\circ,

and

[AOB]=\frac12r^2.

The requested ratio is therefore

2:1.

Thus, the correct answer is E.

1958 AMC 12 第 21 题

答案：E

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

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