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1963 AMC 12 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

表达式

x^2-y^2-z^2+2yz+x+y-z

具有：

The expression

x^2-y^2-z^2+2yz+x+y-z

has:

没有系数和指数均为整数的一次因式

no linear factor with integer coefficients and integer exponents

因式

-x+y+z

the factor

-x+y+z

因式

x-y-z+1

the factor

x-y-z+1

因式

x+y-z+1

the factor

x+y-z+1

因式

x-y+z+1

the factor

x-y+z+1

答案：E

知识点：平方差因式分解换元法

难度评级：1520

小提示：

把

y-z

看作一个整体

Group

y-z

as a single expression

大提示：

把多项式改写为

x^2-(y-z)^2+x+(y-z)

Rewrite the polynomial as

x^2-(y-z)^2+x+(y-z)

解答：

令

u=y-z

。两部分可分解为

\begin{gathered} x^2-u^2=(x+u)(x-u),\\ x+u=(x+u)\cdot1 \end{gathered}\text{。}

因此整个表达式是

(x+u)(x-u+1)

，它的一个因式是

x-y+z+1

。

所以正确答案是 E。

Let

u=y-z.

The two groups factor as

\begin{gathered} x^2-u^2=(x+u)(x-u),\\ x+u=(x+u)\cdot1. \end{gathered}

Thus the whole expression is

(x+u)(x-u+1),

and one factor is

x-y+z+1.

Therefore, the correct answer is E.

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