1984 AMC 12 第 21 题

Question

满足联立方程

\begin{aligned} ab+bc&=44,\\ ac+bc&=23 \end{aligned}

的正整数三元组

(a,b,c)

的个数为

The number of triples

(a,b,c)

of positive integers which satisfy the simultaneous equations

\begin{aligned} ab+bc&=44,\\ ac+bc&=23. \end{aligned}

is

0

1

2

3

4

答案：C

知识点：丢番图方程因数换元法

难度评级：1960

小提示：

将第二个方程因式分解为

c(a+b)=23

Factor the second equation as

c(a+b)=23

大提示：

利用

23

是素数以及各变量为正数，确定

c

和

a+b

Use the primality of

23

and positivity to determine

c

and

a+b

解答：

由于

c(a+b)=23

，且所有变量都是正整数，所以

c=1

，且

a+b=23

。将

b=23-a

代入

ab+b=44

。于是

(23-a)(a+1)=44\text{，}

即

a^2-22a+21=0

，所以

a=1

或

21

。每种情形都会得到正整数

b

，因此恰有两个三元组。

所以正确答案是 C。

Since

c(a+b)=23

and all variables are positive integers,

c=1

and

a+b=23.

Put

b=23-a

in

ab+b=44.

Then

(23-a)(a+1)=44,

or

a^2-22a+21=0,

so

a=1

or

21.

Each gives a positive

b,

producing exactly two triples.

Therefore, the correct answer is C.

1984 AMC 12 第 21 题

答案：C

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

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