1967 AMC 12 第 21 题

Question

在直角三角形

ABC

中，斜边

AB=5

，直角边

AC=3

。角

A

的平分线与对边交于

A_1

。再作一个直角三角形

PQR

，其斜边

PQ=A_1B

，直角边

PR=A_1C

。若角

P

的平分线与对边交于

P_1

，则

PP_1

的长度为：

In right triangle

ABC

the hypotenuse

AB=5

and leg

AC=3.

The bisector of angle

A

meets the opposite side in

A_1.

A second right triangle

PQR

is then constructed with hypotenuse

PQ=A_1B

and leg

PR=A_1C.

If the bisector of angle

P

meets the opposite side in

P_1,

the length of

PP_1

is:

\dfrac{3\sqrt6}{4}

\dfrac{3\sqrt5}{4}

\dfrac{3\sqrt3}{4}

\dfrac{3\sqrt2}{2}

\dfrac{15\sqrt2}{16}

答案：B

知识点：直角三角形角平分线定理相似

难度评级：2150

小提示：

在

3

-

4

-

5

三角形中使用角平分线定理

Use the angle-bisector theorem in the

3

-

4

-

5

triangle

大提示：

第二个三角形是第一个三角形缩小一半的副本

The second triangle is a half-scale copy of the first

解答：

因为

BC=4

，由角平分线定理可得

A_1B:A_1C=5:3

。因此

A_1B=\frac{5}{2}

，且

A_1C=\frac{3}{2}

，所以三角形

PQR

是三角形

ABC

缩小一半的副本。

对于原三角形中从

A

引出的角平分线，

\begin{aligned} AA_1^2 &=5\cdot3\left(1-\frac{4^2}{8^2}\right)\\ &=\frac{45}{4} \end{aligned}\text{，}

所以

AA_1=\frac{3\sqrt5}{2}

。因此

PP_1

是它的一半，即

\frac{3\sqrt5}{4}

。

因此，正确答案是 B。

Since

BC=4,

the angle-bisector theorem gives

A_1B:A_1C=5:3.

Hence

A_1B=\frac{5}{2}

and

A_1C=\frac{3}{2},

so triangle

PQR

is a half-scale copy of

ABC.

For the angle bisector from

A

in the original triangle,

\begin{aligned} AA_1^2 &=5\cdot3\left(1-\frac{4^2}{8^2}\right)\\ &=\frac{45}{4}, \end{aligned}

so

AA_1=\frac{3\sqrt5}{2}.

Therefore

PP_1

is half of this, or

\frac{3\sqrt5}{4}.

Thus, the correct answer is B.

1967 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

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