1975 AMC 12 第 21 题

Question

设

f(x)

对所有实数

x

都有定义；

f(x)\gt0

对所有

x

成立；且

f(a)f(b)=f(a+b)

对所有

a

和

b

成立。下列哪些命题为真？

I.

f(0)=1

II.

f(-a)=\frac{1}{f(a)}

对所有

a

成立

III.

f(a)=\sqrt[3]{f(3a)}

对所有

a

成立

IV.

f(b)\gt f(a)

，只要

b\gt a

Suppose

f(x)

is defined for all real numbers

x;

f(x)\gt0

for all

x;

and

f(a)f(b)=f(a+b)

for all

a

and

b.

Which of the following statements are true?

I.

f(0)=1

II.

f(-a)=\frac{1}{f(a)}

for all

a

III.

f(a)=\sqrt[3]{f(3a)}

for all

a

IV.

f(b)\gt f(a)

if

b\gt a

只有

\mathrm{III}

和

\mathrm{IV}

\mathrm{III}

and

\mathrm{IV}

only

只有

\mathrm{I}

、

\mathrm{III}

和

\mathrm{IV}

\mathrm{I},

\mathrm{III}

and

\mathrm{IV}

only

只有

\mathrm{I}

、

\mathrm{II}

和

\mathrm{IV}

\mathrm{I},

\mathrm{II}

and

\mathrm{IV}

only

只有

\mathrm{I}

、

\mathrm{II}

和

\mathrm{III}

\mathrm{I},

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

only

全部为真。

All are true.

答案：D

知识点：函数方程换元法反例

难度评级：1670

小提示：

依次代入

a=0,\ b=-a

，再将

a

连加三次

Substitute

a=0,\ b=-a,

and then add

a

three times

大提示：

用常函数

f(x)=1

检验单调性命题

Test the monotonicity claim with the constant function

f(x)=1

解答：

取

a=0

，结合函数值为正可得

f(0)=1

。取

b=-a

，得

f(a)f(-a)=1

。另外，

f(3a)=f(a)^3

，所以由函数值为正，可以在 III 中取正的立方根。但是

f(x)=1

满足该函数方程却不是严格递增函数，因此 IV 不一定成立。

因此，正确答案是 D。

Taking

a=0

and using positivity gives

f(0)=1.

Taking

b=-a

gives

f(a)f(-a)=1.

Also

f(3a)=f(a)^3,

so positivity permits the positive cube root in III. But

f(x)=1

satisfies the functional equation and is not strictly increasing, so IV need not hold.

Therefore, the correct answer is D.

1975 AMC 12 第 21 题

答案：D

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

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