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1962 AMC 12 第 32 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

32.

若对

k=1

、

2

、

\ldots

、

n-1

，有

x_{k+1}=x_k+\dfrac12

，且

x_1=1

，求

x_1+x_2+\cdots+x_n

。

If

x_{k+1}=x_k+\dfrac12

for

k=1,

2,

\ldots,

n-1

and

x_1=1,

find

x_1+x_2+\cdots+x_n.

\dfrac{n+1}{2}

\dfrac{n+3}{2}

\dfrac{n^2-1}{2}

\dfrac{n^2+n}{4}

\dfrac{n^2+3n}{4}

答案：E

知识点：等差数列求和

难度评级：1440

小提示：

该递推关系定义了公差为

\frac{1}{2}

的等差数列

The recurrence defines an arithmetic sequence with common difference

\frac{1}{2}

大提示：

先求

x_n

，再使用

\frac{n(x_1+x_n)}{2}

Find

x_n

, then use

\frac{n(x_1+x_n)}{2}

解答：

有

x_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}

。因此

\begin{aligned} x_1+\cdots+x_n &=\frac n2\left(1+\frac{n+1}{2}\right)\\ &=\frac{n^2+3n}{4} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 E。

We have

x_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}.

Therefore

\begin{aligned} x_1+\cdots+x_n &=\frac n2\left(1+\frac{n+1}{2}\right)\\ &=\frac{n^2+3n}{4}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.