1964 AMC 12 第 16 题

Question

设

f(x)=x^2+3x+2

，并设

S

为整数集合

\{0,1,2,\ldots,25\}

。使

f(s)

除以

6

的余数为零的

S

中元素

s

的个数是：

Let

f(x)=x^2+3x+2

and let

S

be the set of integers

\{0,1,2,\ldots,25\}.

The number of members

s

of

S

such that

f(s)

has remainder zero when divided by

6

is:

25

22

21

18

17

答案：E

知识点：模运算整除性区间内整数计数

难度评级：1450

小提示：

将

f(s)

分解为

(s+1)(s+2)

Factor

f(s)

as

(s+1)(s+2)

大提示：

该乘积总是偶数；判断

s

模

3

的哪一类余数不符合

The product is always even; determine which residue of

s

modulo

3

fails

解答：

有

f(s)=(s+1)(s+2)

，这是两个连续整数的乘积，所以总是偶数。除非

s\equiv0\pmod3

，否则它能被

3

整除。在

0,1,\ldots,25

中，有九个数是

3

的倍数。因此有

26-9=17

个数符合条件。

因此，正确答案是 E。

We have

f(s)=(s+1)(s+2),

a product of consecutive integers, so it is always even. It is divisible by

3

unless

s\equiv0\pmod3.

Among

0,1,\ldots,25,

nine values are multiples of

3.

Thus

26-9=17

values work.

Therefore, the correct answer is E.

1964 AMC 12 第 16 题

答案：E

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

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