1964 AMC 12 第 17 题

Question

给定互不相同的点

P(x_1,y_1)

、

Q(x_2,y_2)

和

R(x_1+x_2,y_1+y_2)

。将这些点彼此连接，并分别与原点

O

连接。在三种可能中：

(1)

平行四边形、

(2)

直线、

(3)

梯形，根据点

P

、

Q

和

R

的位置，图形

OPRQ

可以是：

Given the distinct points

P(x_1,y_1),

Q(x_2,y_2)

and

R(x_1+x_2,y_1+y_2).

Line segments are drawn connecting these points to each other and to the origin

O.

Of the three possibilities:

(1)

parallelogram,

(2)

straight line,

(3)

trapezoid, figure

OPRQ,

depending upon the location of the points

P,

Q,

and

R,

can be:

仅

(1)

(1)

only

仅

(2)

(2)

only

仅

(3)

(3)

only

仅

(1)

或

(2)

(1)

or

(2)

only

三种都可以

all three

答案：D

知识点：向量平行四边形逻辑推理

难度评级：1450

小提示：

将位置向量关系理解为

R=P+Q

Interpret the position vectors as

R=P+Q

大提示：

分别讨论向量

P

和

Q

线性无关与线性相关的情形

Separate the cases in which the vectors

P

and

Q

are independent or dependent

解答：

当

P

和

Q

不共线时，关系

\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}

使

OPRQ

的两组对边分别平行且相等，所以图形是平行四边形。若两个向量线性相关，则四点都在一条直线上。它不可能是严格意义上的梯形。

因此，正确答案是 D。

The relation

\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}

makes opposite sides of

OPRQ

parallel and equal whenever

P

and

Q

are not collinear, so the figure is a parallelogram. If the two vectors are dependent, all four points lie on a straight line. It cannot be a genuine trapezoid.

Thus, the correct answer is D.

1964 AMC 12 第 17 题

答案：D

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

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