1966 AMC 12 第 29 题

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29.

小于 10001000 且既不能被 55 整除也不能被 77 整除的正整数共有:
The number of positive integers less than 10001000 divisible by neither 55 nor 77 is:
688688
686686
684684
658658
630630
答案:B
知识点:区间内整数计数整除性容斥原理
小提示:
小于 10001000 的正整数有 999999 个
There are 999999 positive integers below 10001000
大提示:
减去 55 和 77 的倍数,再加回 3535 的倍数
Subtract multiples of 55 and 77, then add back multiples of 3535
解答:
由容斥原理,所求个数为 999−⌊9995⌋−⌊9997⌋+⌊99935⌋=999−199−142+28=686。 \begin{aligned} &999-\left\lfloor\frac{999}{5}\right\rfloor -\left\lfloor\frac{999}{7}\right\rfloor\\ &\quad+\left\lfloor\frac{999}{35}\right\rfloor\\ &=999-199-142+28\\ &=686 \end{aligned}\text{。}
因此,正确答案是 B。
By inclusion-exclusion, the count is 999−⌊9995⌋−⌊9997⌋+⌊99935⌋=999−199−142+28=686. \begin{aligned} &999-\left\lfloor\frac{999}{5}\right\rfloor -\left\lfloor\frac{999}{7}\right\rfloor\\ &\quad+\left\lfloor\frac{999}{35}\right\rfloor\\ &=999-199-142+28\\ &=686. \end{aligned}
Therefore, the correct answer is B.
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