1968 AMC 12 第 11 题

Question

若圆

\mathrm{I}

上一段

60^\circ

圆弧与圆

\mathrm{II}

上一段

45^\circ

圆弧长度相同，则圆

\mathrm{I}

与圆

\mathrm{II}

的面积之比为：

If an arc of

60^\circ

on circle

\mathrm{I}

has the same length as an arc of

45^\circ

on circle

\mathrm{II},

the ratio of the area of circle

\mathrm{I}

to that of circle

\mathrm{II}

is:

16:9

9:16

4:3

3:4

以上皆非

none of these

令两段圆弧的

(\frac{\theta}{360^\circ})2\pi r

相等

Equate

(\frac{\theta}{360^\circ})2\pi r

for the two arcs

将所得半径比平方，得到面积比

Square the resulting radius ratio to get the area ratio

弧长相等给出

60r_1=45r_2

，所以

\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{4}

。圆的面积与半径的平方成正比，故

A_1:A_2=9:16

。

因此，正确答案是 B。

Equal arc lengths give

60r_1=45r_2,

so

\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{4}.

Circle areas scale as the squares of the radii, giving

A_1:A_2=9:16.

Therefore, the correct answer is B.

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