1977 AMC 12 第 11 题

Question

对每个实数

x

，令

[x]

表示不超过

x

的最大整数（即满足

n\le x\lt n+1

的整数

n

）。下列哪些陈述正确？

\mathrm{I}

。对所有

x

，都有

[x+1]=[x]+1

\mathrm{II}

。对所有

x

和

y

，都有

[x+y]=[x]+[y]

\mathrm{III}

。对所有

x

和

y

，都有

[xy]=[x][y]

For each real number

x,

let

[x]

be the largest integer not exceeding

x

(i.e., the integer

n

such that

n\le x\lt n+1

). Which of the following statements is (are) true?

\mathrm{I}.

[x+1]=[x]+1

for all

x

\mathrm{II}.

[x+y]=[x]+[y]

for all

x

and

y

\mathrm{III}.

[xy]=[x][y]

for all

x

and

y

都不正确

none

只有

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

只有

\mathrm{I}

和

\mathrm{II}

\mathrm{I}

and

\mathrm{II}

only

只有

\mathrm{III}

\mathrm{III}

only

全部正确

all

答案：B

知识点：取整函数反例

难度评级：1530

小提示：

从

n\le x\lt n+1

直接证明平移性质

Prove the translation statement directly from

n\le x\lt n+1

大提示：

用

1

与

2

之间的非整数检验另外两项陈述

Test the other two claims using noninteger values between

1

and

2

解答：

若

n\le x\lt n+1

，则

n+1\le x+1\lt n+2

，所以

\mathrm{I}

正确。取

x=y=\frac{3}{2}

，可得

[x+y]=3\ne2=[x]+[y]

且

[xy]=2\ne1=[x][y]

。因此

\mathrm{II}

和

\mathrm{III}

错误。

因此，正确答案是 B。

If

n\le x\lt n+1,

then

n+1\le x+1\lt n+2,

so

\mathrm{I}

is true. Taking

x=y=\frac{3}{2}

gives

[x+y]=3\ne2=[x]+[y]

and

[xy]=2\ne1=[x][y].

Thus

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

are false.

Therefore, the correct answer is B.

1977 AMC 12 第 11 题

答案：B

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

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