1973 AMC 12 第 11 题

Question

在直角坐标系中，原点为

O

，正

x

轴与正

y

轴分别为

OX

与

OY

。以下每幅图

\mathrm{I}

至

\mathrm{IV}

都画出了一个圆及其外接正方形和内接正方形，三者均以原点为中心。

不等式

\begin{aligned} |x|+|y| &\le \sqrt{2(x^2+y^2)}\\ &\le 2\operatorname{Max}(|x|,|y|) \end{aligned}

的几何表示对应编号为下列哪一幅图：

几何表示：若不等式

f(x,y)\le g(x,y)

对所有

x

、

y

成立，则其几何表示是一幅对一个典型实数

a

展示下列包含关系的图：

\begin{aligned} &\{(x,y):g(x,y)\le a\}\\ &\quad\subset \{(x,y):f(x,y)\le a\} \end{aligned}\text{。}

A circle with a circumscribed and an inscribed square centered at the origin

O

of a rectangular coordinate system with positive

x

- and

y

-axes

OX

and

OY

is shown in each figure

\mathrm{I}

to

\mathrm{IV}

below.

The inequalities

\begin{aligned} |x|+|y| &\le \sqrt{2(x^2+y^2)}\\ &\le 2\operatorname{Max}(|x|,|y|). \end{aligned}

are represented geometrically by the figure numbered

Geometric representation: An inequality

f(x,y)\le g(x,y)

for all

x,

y

is represented by a figure showing, for a typical real number

a,

the containment

\begin{aligned} &\{(x,y):g(x,y)\le a\}\\ &\quad\subset \{(x,y):f(x,y)\le a\}. \end{aligned}

\mathrm{I}

\mathrm{II}

\mathrm{III}

\mathrm{IV}

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：不等式坐标几何圆正方形（几何）

难度评级：2190

小提示：

确定

|x|+|y|

、

\sqrt{2(x^2+y^2)}

和

2\operatorname{Max}(|x|,|y|)

的次水平集形状

Identify the shapes of the sublevel sets for

|x|+|y|,

\sqrt{2(x^2+y^2)},

and

2\operatorname{Max}(|x|,|y|)

大提示：

不等式会使对应次水平集的包含顺序反向

The inequality reverses the order of containment of the corresponding sublevel sets

解答：

对固定的正数

a

，集合

2\operatorname{Max}(|x|,|y|)\le a

是边与坐标轴平行的正方形。集合

\sqrt{2(x^2+y^2)}\le a

是它的外接圆，而

|x|+|y|\le a

是该圆的外接菱形。因此所需的嵌套顺序是内部的轴向正方形、圆、外部菱形，对应图

\mathrm{II}

。

所以正确答案是 B。

For a fixed positive

a,

the set

2\operatorname{Max}(|x|,|y|)\le a

is an axis-aligned square. The set

\sqrt{2(x^2+y^2)}\le a

is its circumscribed circle, and

|x|+|y|\le a

is the diamond circumscribed about that circle. Thus the required nesting is an inner axis-aligned square, then a circle, then an outer diamond, which is figure

\mathrm{II}.

Therefore, the correct answer is B.

1973 AMC 12 第 11 题

答案：B

难度评级：2190

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题