1982 AMC 12 第 11 题

Question

在

1{,}000

与

9{,}999

之间，有多少个各位数字互不相同的四位整数，使得首位数字与末位数字之差的绝对值为

2

？

How many integers with four different digits are there between

1{,}000

and

9{,}999

such that the absolute value of the difference between the first digit and the last digit is

2?

672

784

840

896

1{,}008

先计算所有符合条件的（首位数字，末位数字）有序对

First count the allowed ordered pairs of first and last digits

固定首末两位后，再从其余八个数字中依次选出两个不同的中间数字

Once those digits are fixed, choose two distinct middle digits from the remaining eight

首位数字依次取

1,\ldots,9

时，相差

2

的末位数字个数为

1+1+2+2+2

加上

2+2+1+1

，共

14

个。此外，首位为

2

时末位还可为

0

，因而共有

15

个首末数字有序对。中间两位有

8\cdot7

种有序选法。因此总数为

15\cdot56=840

。

因此，正确答案为 C。

For leading digits

1,\ldots,9,

the number of possible last digits differing by

2

is

1+1+2+2+2

plus

2+2+1+1,

or

14.

In addition, leading digit

2

may end in

0,

giving

15

endpoint pairs. The middle digits can then be chosen in

8\cdot7

ordered ways. Thus the count is

15\cdot56=840.

Therefore, the correct answer is C.

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