1981 AMC 12 第 11 题

Question

一个直角三角形的三条边长均为整数，并且组成等差数列。其中一条边的长度可能为

The three sides of a right triangle have integral lengths which form an arithmetic progression. One of the sides could have length

22

58

81

91

361

答案：C

知识点：勾股数等差数列整除性

难度评级：1360

小提示：

将三条等间距的边表示为

s-d

、

s

、

s+d

Represent the three equally spaced sides as

s-d,

s,

s+d

大提示：

每个这样的整数边直角三角形都是

3

-

4

-

5

三角形的整数倍

Every such integral right triangle is a multiple of a

3

-

4

-

5

triangle

解答：

若三边为

s-d

、

s

、

s+d

，则勾股定理给出

(s-d)^2+s^2=(s+d)^2

，从而有

s=4k

且

d=k

，其中

k

为正整数。因此三边为

3k

、

4k

、

5k

。在选项中，

81=3\cdot27

可以作为一条边。

所以正确答案是 C。

If the sides are

s-d,

s,

s+d,

the Pythagorean equation gives

(s-d)^2+s^2=(s+d)^2,

hence

s=4k

and

d=k

for some positive integer

k.

Thus the sides are

3k,

4k,

5k.

Of the choices,

81=3\cdot27

can occur.

Therefore, the correct answer is C.

1981 AMC 12 第 11 题

答案：C

难度评级：1360

小提示：

大提示：

解答：

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