1992 AMC 12 第 11 题

Question

两个同心圆的半径之比为

1:3

。若

\overline{AC}

是大圆的直径，

\overline{BC}

是大圆的一条弦且与小圆相切，并且

AB=12

，则大圆的半径为

The ratio of the radii of two concentric circles is

1:3.

If

\overline{AC}

is a diameter of the larger circle,

\overline{BC}

is a chord of the larger circle that is tangent to the smaller circle, and

AB=12,

then the radius of the larger circle is

13

18

21

24

26

答案：B

知识点：circle tangent 直角三角形 similar triangles

难度评级：1810

小提示：

连接圆心与

\overline{BC}

和小圆的切点

Draw the radius to the point where

\overline{BC}

touches the smaller circle

大提示：

利用切点半径与直径构成的相似直角三角形

Use the similar right triangles formed by the tangent radius and the diameter

解答：

设

O

为共同的圆心，

T

为

\overline{BC}

上的切点。由于

OT\perp BC

，且

\angle ABC=90^\circ

，三角形

OTC

与

ABC

相似。若大圆半径为

R

，则

OT=\frac{R}{3}

、

OC=R

，且

AC=2R

。因此

\frac{OT}{AB}=\frac{OC}{AC}=\frac12\text{。}

所以

OT=6

，并且

R=3OT=18

。

因此正确答案是 B。

Let

O

be the common center and

T

the tangency point on

\overline{BC}.

Since

OT\perp BC

and

\angle ABC=90^\circ,

triangles

OTC

and

ABC

are similar. If the larger radius is

R,

then

OT=\frac{R}{3},

OC=R,

and

AC=2R.

Thus

\frac{OT}{AB}=\frac{OC}{AC}=\frac12.

Hence

OT=6

and

R=3OT=18.

Thus the correct answer is B.

1992 AMC 12 第 11 题

答案：B

难度评级：1810

小提示：

大提示：

解答：

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