In English En español

1969 AMC 12 第 29 题

先试着解答 1969 AMC 12 第 29 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1969 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

29.

若

x=t^{\frac{1}{t-1}}

、

y=t^{\frac{t}{t-1}}

，且

t\gt0

、

t\ne1

，则

x

与

y

之间的一个关系是：

If

x=t^{\frac{1}{t-1}}

and

y=t^{\frac{t}{t-1}},

t\gt0,

t\ne1,

a relation between

x

and

y

is:

y^x=x^{\frac{1}{y}}

y^{\frac{1}{x}}=x^y

y^x=x^y

x^x=y^y

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：指数代数变形换元法

难度评级：2100

小提示：

用

y

除以

x

，用

x

、

y

表示

t

Divide

y

by

x

to express

t

in terms of

x

and

y

大提示：

再观察到

y=x^t

，然后消去

t

Also observe that

y=x^t

, then eliminate

t

解答：

将两个定义相除，得到

\frac yx=t^{\frac{t-1}{t-1}}=t\text{。}

此外，

y=t^{\frac{t}{t-1}}=\left(t^{\frac{1}{t-1}}\right)^t=x^t\text{。}

代入

t=\frac{y}{x}

，得

y=x^{\frac{y}{x}}

。两边取

x

次幂，得到

y^x=x^y

。

所以正确答案是 C。

Dividing the definitions gives

\frac yx=t^{\frac{t-1}{t-1}}=t.

Also,

y=t^{\frac{t}{t-1}}=\left(t^{\frac{1}{t-1}}\right)^t=x^t.

Substituting

t=\frac{y}{x}

gives

y=x^{\frac{y}{x}}.

Raising both sides to the power

x

yields

y^x=x^y.

Therefore, the correct answer is C.