1969 AMC 12 第 30 题

Question

设

P

是等腰直角三角形

ABC

的斜边

AB

（或其延长线）上的一点。令

s=AP^2+PB^2

。则：

Let

P

be a point of hypotenuse

AB

(or its extension) of isosceles right triangle

ABC.

Let

s=AP^2+PB^2.

Then:

仅有有限个

P

的位置满足

s\lt2CP^2

s\lt2CP^2

for a finite number of positions of

P

有无穷多个

P

的位置满足

s\lt2CP^2

s\lt2CP^2

for an infinite number of positions of

P

仅当

P

是

AB

的中点或

AB

的端点时，

s=2CP^2

s=2CP^2

only if

P

is the midpoint of

AB

or an endpoint of

AB

恒有

s=2CP^2

s=2CP^2

always

若

P

是

AB

的三等分点，则

s\gt2CP^2

s\gt2CP^2

if

P

is a trisection point of

AB

答案：D

知识点：坐标几何距离公式等腰三角形

难度评级：1670

小提示：

将

AB

的中点置于原点，并让

AB

位于

x

轴上

Put the midpoint of

AB

at the origin and

AB

on the

x

-axis

大提示：

取

A=(-a,0)

、

B=(a,0)

、

C=(0,a)

、

P=(p,0)

Use

A=(-a,0),

B=(a,0),

C=(0,a),

and

P=(p,0)

解答：

取

A=(-a,0)

、

B=(a,0)

、

C=(0,a)

、

P=(p,0)

。这涵盖了斜边所在直线上的每一点。于是

\begin{aligned} s&=(p+a)^2+(p-a)^2\\ &=2p^2+2a^2,\\ 2CP^2&=2(p^2+a^2)\\ &=2p^2+2a^2 \end{aligned}\text{。}

因而对

P

的每个位置都有

s=2CP^2

。

所以正确答案是 D。

Take

A=(-a,0),

B=(a,0),

C=(0,a),

and

P=(p,0).

This describes every point on the hypotenuse line. Then

\begin{aligned} s&=(p+a)^2+(p-a)^2\\ &=2p^2+2a^2,\\ 2CP^2&=2(p^2+a^2)\\ &=2p^2+2a^2. \end{aligned}

Thus

s=2CP^2

for every position of

P.

Therefore, the correct answer is D.

1969 AMC 12 第 30 题

答案：D

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

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