1969 AMC 12 Problema 29

Question

Si

x=t^{\frac{1}{t-1}}

y

y=t^{\frac{t}{t-1}},

con

t\gt0

y

t\ne1,

una relación entre

x

y

y

es:

If

x=t^{\frac{1}{t-1}}

and

y=t^{\frac{t}{t-1}},

t\gt0,

t\ne1,

a relation between

x

and

y

is:

y^x=x^{\frac{1}{y}}

y^{\frac{1}{x}}=x^y

y^x=x^y

x^x=y^y

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:exponente manipulación algebraica sustitución

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Divide

y

entre

x

para expresar

t

en términos de

x

e

y

Divide

y

by

x

to express

t

in terms of

x

and

y

Pista grande:

Observa también que

y=x^t

y elimina

t

Also observe that

y=x^t

, then eliminate

t

Solución:

Al dividir las definiciones se obtiene

\frac yx=t^{\frac{t-1}{t-1}}=t.

Además,

y=t^{\frac{t}{t-1}}=\left(t^{\frac{1}{t-1}}\right)^t=x^t.

Al sustituir

t=\frac{y}{x}

, resulta

y=x^{\frac{y}{x}}.

Al elevar ambos lados a la potencia

x

, se obtiene

y^x=x^y.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Dividing the definitions gives

\frac yx=t^{\frac{t-1}{t-1}}=t.

Also,

y=t^{\frac{t}{t-1}}=\left(t^{\frac{1}{t-1}}\right)^t=x^t.

Substituting

t=\frac{y}{x}

gives

y=x^{\frac{y}{x}}.

Raising both sides to the power

x

yields

y^x=x^y.

Therefore, the correct answer is C.