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1972 AMC 12 第 19 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

19.

数列

\begin{gathered} 1,\ (1+2),\ (1+2+2^2),\\ \ldots,\ (1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}) \end{gathered}

的前

n

项之和用

n

表示为：

The sum of the first

n

terms of the sequence

\begin{gathered} 1,\ (1+2),\ (1+2+2^2),\\ \ldots,\ (1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}) \end{gathered}

in terms of

n

is:

2^n

2^n-n

2^{n+1}-n

2^{n+1}-n-2

n\cdot2^n

答案：D

知识点：等比数列求和代数变形

难度评级：1790

小提示：

第

k

个括号内的和为

2^k-1

The

k

-th parenthesized sum is

2^k-1

大提示：

求

2^1-1

、

2^2-1

、

\ldots

和

2^n-1

的和

Sum

2^1-1,

2^2-1,

\ldots,

and

2^n-1

解答：

第

k

项是等比数列之和

2^k-1

。因此所求总和为

\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2^k-1) &=(2^{n+1}-2)-n\\ &=2^{n+1}-n-2 \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 D。

The

k

-th term is the geometric sum

2^k-1.

Therefore the desired total is

\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2^k-1) &=(2^{n+1}-2)-n\\ &=2^{n+1}-n-2. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

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