1973 AMC 12 第 9 题

Question

在直角位于

C

的

\triangle ABC

中，高

CH

与中线

CM

将该直角三等分。若

\triangle CHM

的面积为

K

，则

\triangle ABC

的面积为

In

\triangle ABC

with right angle at

C,

altitude

CH

and median

CM

trisect the right angle. If the area of

\triangle CHM

is

K,

then the area of

\triangle ABC

is

6K

4\sqrt3K

3\sqrt3K

3K

4K

答案：E

知识点：直角三角形中线（几何）全等（几何）面积比

难度评级：1870

小提示：

利用三等分角比较直角三角形

CHM

与

CHB

Compare the right triangles

CHM

and

CHB

using the trisection angles

大提示：

确定

M

与

H

在

AB

上的位置后，比较

HM

与整条底边

AB

After locating

M

and

H

on

AB,

compare

HM

with the whole base

AB

解答：

由于

CH\perp AB

，

\triangle CHM

与

\triangle CHB

都在

H

处为直角。三等分使它们在

C

处的锐角相等，并且两三角形共用边

CH

，所以它们全等。因此

HM=HB

。

因为

M

是

AB

的中点，所以

AM=MB

。沿斜边各点的顺序为

A,M,H,B

，并且

MB=MH+HB=2MH

。因此

AB=2MB=4MH\text{。}

三角形

ABC

与

CHM

的底边在同一直线上，并且从

C

到这条直线的高相同，所以面积比为

AB:HM=4:1

。因此

\triangle ABC

的面积为

4K

。

所以正确答案是 E。

Since

CH\perp AB,

both

\triangle CHM

and

\triangle CHB

are right at

H.

The trisection gives equal acute angles at

C,

and the triangles share side

CH,

so they are congruent. Hence

HM=HB.

Because

M

is the midpoint of

AB,

AM=MB.

Along the hypotenuse the order is

A,M,H,B,

and

MB=MH+HB=2MH.

Thus

AB=2MB=4MH.

Triangles

ABC

and

CHM

have bases on the same line and the same altitude from

C,

so their areas are in the ratio

AB:HM=4:1.

Therefore the area of

\triangle ABC

is

4K.

Therefore, the correct answer is E.

1973 AMC 12 第 9 题

答案：E

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

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