1973 AMC 12 Problema 9

Question

En

\triangle ABC

, con ángulo recto en

C,

la altura

CH

y la mediana

CM

trisecan el ángulo recto. Si el área de

\triangle CHM

es

K,

entonces el área de

\triangle ABC

es

In

\triangle ABC

with right angle at

C,

altitude

CH

and median

CM

trisect the right angle. If the area of

\triangle CHM

is

K,

then the area of

\triangle ABC

is

6K

4\sqrt3K

3\sqrt3K

3K

4K

Respuesta: E

Conceptos:triángulo rectángulo mediana (geometría)congruencia (geometría)razón de áreas

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Compara los triángulos rectángulos

CHM

y

CHB

usando los ángulos de la trisección

Compare the right triangles

CHM

and

CHB

using the trisection angles

Pista grande:

Después de ubicar

M

y

H

sobre

AB,

compara

HM

con toda la base

AB

After locating

M

and

H

on

AB,

compare

HM

with the whole base

AB

Solución:

Como

CH\perp AB,

tanto

\triangle CHM

como

\triangle CHB

son rectángulos en

H.

La trisección produce ángulos agudos iguales en

C,

y los triángulos comparten el lado

CH,

por lo que son congruentes. Así,

HM=HB.

Como

M

es el punto medio de

AB,

se tiene

AM=MB.

A lo largo de la hipotenusa, el orden es

A,M,H,B,

y

MB=MH+HB=2MH.

Por lo tanto,

AB=2MB=4MH.

Los triángulos

ABC

y

CHM

tienen bases sobre la misma recta y la misma altura desde

C,

por lo que sus áreas están en la razón

AB:HM=4:1.

Así, el área de

\triangle ABC

es

4K.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since

CH\perp AB,

both

\triangle CHM

and

\triangle CHB

are right at

H.

The trisection gives equal acute angles at

C,

and the triangles share side

CH,

so they are congruent. Hence

HM=HB.

Because

M

is the midpoint of

AB,

AM=MB.

Along the hypotenuse the order is

A,M,H,B,

and

MB=MH+HB=2MH.

Thus

AB=2MB=4MH.

Triangles

ABC

and

CHM

have bases on the same line and the same altitude from

C,

so their areas are in the ratio

AB:HM=4:1.

Therefore the area of

\triangle ABC

is

4K.

Therefore, the correct answer is E.