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1974 AMC 12 第 29 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

29.

对

p=1

、

2

、

\ldots

、

10

，令

S_p

为一个等差数列前

40

项的和，其中首项为

p

，公差为

2p-1

。则

S_1+S_2+\cdots+S_{10}

等于

For

p=1,

2,

\ldots,

10

let

S_p

be the sum of the first

40

terms of the arithmetic progression whose first term is

p

and whose common difference is

2p-1;

then

S_1+S_2+\cdots+S_{10}

is

80{,}000

80{,}200

80{,}400

80{,}600

80{,}800

答案：B

知识点：等差数列求和

难度评级：1740

小提示：

使用

40

项等差数列求和公式，其中

p

固定

Use the

40

-term arithmetic-series formula for a fixed

p

大提示：

先化简

S_p=20\bigl(2p+39(2p-1)\bigr)

，再对

p

求和

Simplify

S_p=20\bigl(2p+39(2p-1)\bigr)

before summing over

p

解答：

对每个

p

，

\begin{aligned} S_p&=\frac{40}{2} \bigl(2p+39(2p-1)\bigr)\\ &=1600p-780 \end{aligned}\text{。}

由于

1+2+\cdots+10=55

，所以

\begin{aligned} \sum_{p=1}^{10}S_p &=1600(55)-7800\\ &=80{,}200 \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 B。

For each

p,

\begin{aligned} S_p&=\frac{40}{2} \bigl(2p+39(2p-1)\bigr)\\ &=1600p-780. \end{aligned}

Since

1+2+\cdots+10=55,

therefore

\begin{aligned} \sum_{p=1}^{10}S_p &=1600(55)-7800\\ &=80{,}200. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.