1974 AMC 12 第 3 题

Question

多项式

(1+2x-x^2)^4

展开式中

x^7

的系数是

The coefficient of

x^7

in the polynomial expansion of

(1+2x-x^2)^4

is

-8

12

6

-12

以上皆非

none of these

要得到次数为

7

的项，四个因子中所选项的次数必须为

2

、

2

、

2

、

1

A degree-

7

term must select degrees

2,

2,

2,

1

from the four factors

选出贡献

2x

的那个因子，其余三个因子都贡献

-x^2

Choose which factor contributes

2x

; the other three contribute

-x^2

四个所选项的总次数为

7

的唯一方式，是选一次

2x

和三次

-x^2

。贡献一次项的因子有

4

种选法，所以系数为

4(2)(-1)^3=-8\text{。}

因此，正确答案是 A。

The only way four selected terms can have total degree

7

is to choose

2x

once and

-x^2

three times. There are

4

choices for the first factor, so the coefficient is

4(2)(-1)^3=-8.

Therefore, the correct answer is A.

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