1975 AMC 12 第 16 题

Question

一个无穷等比级数的首项为正整数，公比为正整数的倒数，且级数之和为

3

，则其前两项之和为

If the first term of an infinite geometric series is a positive integer, the common ratio is the reciprocal of a positive integer, and the sum of the series is

3,

then the sum of the first two terms of the series is

\frac13

\frac23

\frac83

2

\frac92

答案：C

知识点：等比数列整除性求和

难度评级：1740

小提示：

将首项记为

a

，公比记为

\frac{1}{n}

Write the first term as

a

and the ratio as

\frac{1}{n}

大提示：

从

\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3

出发，利用

a,n

为正整数且

n\gt1

From

\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,

use that

a,n

are positive integers and

n\gt1

解答：

设首项为

a

，公比为

\frac{1}{n}

。由级数收敛知

n\gt1

，且

\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,\qquad a=3-\frac3n\text{。}

因而

n

整除

3

，所以

n=3

、

a=2

。前两项之和为

2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}

。

因此，正确答案是 C。

Let the first term be

a

and the ratio

\frac{1}{n}.

Convergence gives

n\gt1,

and

\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,\qquad a=3-\frac3n.

Thus

n

divides

3,

so

n=3

and

a=2.

The first two terms sum to

2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}.

Therefore, the correct answer is C.

1975 AMC 12 第 16 题

答案：C

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

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