1975 AMC 12 Problema 16

Question

Si el primer término de una serie geométrica infinita es un entero positivo, la razón común es el recíproco de un entero positivo y la suma de la serie es

3,

entonces la suma de los dos primeros términos es

If the first term of an infinite geometric series is a positive integer, the common ratio is the reciprocal of a positive integer, and the sum of the series is

3,

then the sum of the first two terms of the series is

\frac13

\frac23

\frac83

2

\frac92

Respuesta: C

Conceptos:sucesión geométrica divisibilidad sumatoria

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Escribe el primer término como

a

y la razón como

\frac{1}{n}

Write the first term as

a

and the ratio as

\frac{1}{n}

Pista grande:

A partir de

\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,

usa que

a,n

son enteros positivos y

n\gt1

From

\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,

use that

a,n

are positive integers and

n\gt1

Solución:

Sean

a

el primer término y

\frac{1}{n}

la razón. La convergencia da

n\gt1,

y

\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,\qquad a=3-\frac3n.

Así,

n

divide a

3,

por lo que

n=3

y

a=2.

Los dos primeros términos suman

2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the first term be

a

and the ratio

\frac{1}{n}.

Convergence gives

n\gt1,

and

\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,\qquad a=3-\frac3n.

Thus

n

divides

3,

so

n=3

and

a=2.

The first two terms sum to

2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}.

Therefore, the correct answer is C.