1976 AMC 12 第 20 题

Question

设

a

、

b

和

x

是不等于一的正实数。则

\begin{aligned} 4(\log_a x)^2&+3(\log_b x)^2\\ &=8(\log_a x)(\log_b x) \end{aligned}

Let

a,

b

and

x

be positive real numbers distinct from one. Then

\begin{aligned} 4(\log_a x)^2&+3(\log_b x)^2\\ &=8(\log_a x)(\log_b x) \end{aligned}

对所有

a

、

b

、

x

均成立

for all values of

a,

b

and

x

当且仅当

a=b^2

if and only if

a=b^2

当且仅当

b=a^2

if and only if

b=a^2

当且仅当

x=ab

if and only if

x=ab

以上都不是

none of these

答案：E

知识点：对数二次方程因式分解

难度评级：2110

小提示：

把所有项移到同一边，再把关于两个对数的二次式因式分解

Move all terms to one side and factor the quadratic in the two logarithms

大提示：

利用换底公式，将每个因式为零的方程转化为两个底数之间的关系

Translate each factor equation into a relation between the bases using change of base

解答：

因式分解得

\begin{aligned} &\bigl(2\log_a x-\log_b x\bigr)\\ &\quad\cdot \bigl(2\log_a x-3\log_b x\bigr)=0 \end{aligned}\text{。}

因为

x\ne1

，由换底公式可知，第一个因式在

a=b^2

时为零，第二个因式在

a^3=b^2

时为零。因此原方程在这两个条件中的任一个成立时成立，而选项中没有任何一个“当且仅当”陈述能描述它们的并集。

所以正确答案是 E。

Factoring gives

\begin{aligned} &\bigl(2\log_a x-\log_b x\bigr)\\ &\quad\cdot \bigl(2\log_a x-3\log_b x\bigr)=0. \end{aligned}

Since

x\ne1,

change of base shows that the first factor vanishes when

a=b^2,

while the second vanishes when

a^3=b^2.

Thus the equation holds under either of two conditions, and no listed “if and only if” statement describes their union.

Therefore, the correct answer is E.

1976 AMC 12 第 20 题

答案：E

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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