1977 AMC 12 第 19 题

Question

设

E

为凸四边形

ABCD

的两条对角线的交点，

P

、

Q

、

R

、

S

分别为三角形

ABE

、

BCE

、

CDE

、

ADE

的外接圆圆心。则

Let

E

be the point of intersection of the diagonals of convex quadrilateral

ABCD,

and let

P,

Q,

R

and

S

be the centers of the circles circumscribing triangles

ABE,

BCE,

CDE

and

ADE,

respectively. Then

PQRS

是平行四边形

PQRS

is a parallelogram

PQRS

是平行四边形，当且仅当

ABCD

是菱形

PQRS

is a parallelogram if and only if

ABCD

is a rhombus

PQRS

是平行四边形，当且仅当

ABCD

是矩形

PQRS

is a parallelogram if and only if

ABCD

is a rectangle

PQRS

是平行四边形，当且仅当

ABCD

是平行四边形

PQRS

is a parallelogram if and only if

ABCD

is a parallelogram

以上说法均不正确

none of the above are true

答案：A

知识点：外接圆、外心与外接圆半径垂直平分线平行四边形

难度评级：2220

小提示：

两个相邻的外心都位于其对应三角形公共边的垂直平分线上

Two adjacent circumcenters lie on the perpendicular bisector of the side shared by their triangles

大提示：

利用

A

、

E

、

C

共线且

B

、

E

、

D

共线这一事实

Use the fact that

A,

E,

C

are collinear and

B,

E,

D

are collinear

解答：

P

和

Q

都在线段

BE

的垂直平分线上，而

R

和

S

都在线段

DE

的垂直平分线上。由于

B

、

E

、

D

共线，这两条垂直平分线平行，所以

PQ\parallel RS

。同理，

Q

、

R

在线段

CE

的垂直平分线上，

S

、

P

在线段

AE

的垂直平分线上。由于

A

、

E

、

C

共线，所以

QR\parallel SP

。因此

PQRS

始终是平行四边形。

因此，正确答案是 A。

Both

P

and

Q

lie on the perpendicular bisector of

BE,

while both

R

and

S

lie on the perpendicular bisector of

DE.

Since

B,

E,

D

are collinear, these bisectors are parallel, so

PQ\parallel RS.

Likewise,

Q,

R

lie on the perpendicular bisector of

CE,

and

S,

P

lie on that of

AE.

Since

A,

E,

C

are collinear,

QR\parallel SP.

Therefore

PQRS

is always a parallelogram.

Therefore, the correct answer is A.

1977 AMC 12 第 19 题

答案：A

难度评级：2220

小提示：

大提示：

解答：

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