1965 AMC 12 第 19 题

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19.

若

x^4+4x^3+6px^2+4qx+r

能被

x^3+3x^2+9x+3

整除，则

(p+q)r

的值为：

x^4+4x^3+6px^2+4qx+r

is exactly divisible by

x^3+3x^2+9x+3,

the value of

(p+q)r

is:

-18

12

15

27

45

商必须是首一一次式

The quotient must be monic and linear

减去

(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)

并比较系数

Subtract

(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)

and compare coefficients

由首项可知商必为

x+1

。展开得

\begin{aligned} &(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)\\ &\quad=x^4+4x^3+12x^2+12x+3 \end{aligned}\text{。}

因此

6p=12,\ 4q=12,\ r=3

，所以

p=2,\ q=3

，且

(p+q)r=15

。

因此，正确答案是 C。

The leading terms force quotient

x+1.

Expanding,

\begin{aligned} &(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)\\ &\quad=x^4+4x^3+12x^2+12x+3. \end{aligned}

Thus

6p=12,\ 4q=12,\ r=3,

p=2,\ q=3

and

(p+q)r=15.

Therefore, the correct answer is C.

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