1985 AMC 12 第 19 题

Question

考虑图像

y=Ax^2

和

y^2+3=x^2+4y

，其中

A

为正常数，

x

和

y

为实变量。两个图像有多少个交点？

Consider the graphs of

y=Ax^2

and

y^2+3=x^2+4y,

where

A

is a positive constant and

x

and

y

are real variables. In how many points do the two graphs intersect?

恰好

4

个

exactly

4

恰好

2

个

exactly

2

至少

1

个，但数量随正数

A

的取值而变

at least

1,

but the number varies for different positive values of

A

交点数为

0

，至少对一个正数

A

的取值成立

0

for at least one positive value of

A

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：代数变形交点计数二次方程

难度评级：2350

小提示：

用

x^2=\frac{y}{A}

消去

x^2

Use

x^2=\frac{y}{A}

to eliminate

x^2

大提示：

证明所得二次方程有两个互不相同的正

y

根

Show that the resulting quadratic has two distinct positive

y

-roots

解答：

将

x^2=\frac{y}{A}

代入第二个方程，得到

Ay^2-(4A+1)y+3A=0\text{。}

其判别式为

4A^2+8A+1\gt0

。两根的积为正数

3

，和为正数

\frac{4A+1}{A}

，所以两根互不相同且均为正。对每个根

y

，方程

x^2=\frac{y}{A}

给出两个不同的

x

值。因此恰有四个交点。

所以正确答案是 A。

Substituting

x^2=\frac{y}{A}

into the second equation gives

Ay^2-(4A+1)y+3A=0.

Its discriminant is

4A^2+8A+1\gt0.

Its roots have positive product

3

and positive sum

\frac{4A+1}{A},

so both roots are positive and distinct. For each root

y,

the equation

x^2=\frac{y}{A}

gives two distinct values of

x.

Thus there are exactly four intersection points.

Therefore the correct answer is A.

1985 AMC 12 第 19 题

答案：A

难度评级：2350

小提示：

大提示：

解答：

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