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1977 AMC 12 第 23 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

若方程

x^2+px+q=0

的两个解分别是方程

x^2+mx+n=0

的两个解的立方，则

If the solutions of the equation

x^2+px+q=0

are the cubes of the solutions of the equation

x^2+mx+n=0,

then

p=m^3+3mn

p=m^3-3mn

p+q=m^3

\left(\frac mn\right)^3=\frac pq

以上均不正确

none of these

答案：B

知识点：韦达定理立方和与立方差二次方程

难度评级：2040

小提示：

设第二个方程的两个根为

u

和

v

，并应用韦达定理

Call the roots of the second equation

u

and

v

and apply Vieta’s formulas

大提示：

利用

u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)

Use

u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)

解答：

设

x^2+mx+n

的两个根为

u

、

v

。于是

u+v=-m

，且

uv=n

，而第一个方程的两个根为

u^3

、

v^3

。因此

\begin{aligned} -p&=u^3+v^3\\ &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=-m^3+3mn \end{aligned}\text{。}

所以

p=m^3-3mn

。

因此，正确答案是 B。

Let the roots of

x^2+mx+n

be

u,

v.

Then

u+v=-m

and

uv=n,

while the roots of the first equation are

u^3,

v^3.

Thus

\begin{aligned} -p&=u^3+v^3\\ &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=-m^3+3mn. \end{aligned}

Therefore

p=m^3-3mn.

Therefore, the correct answer is B.

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