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1977 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

求和

\begin{aligned} &\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\cdots\\ &\quad+\frac1{(2n-1)(2n+1)}+\cdots\\ &\quad+\frac1{255\cdot257} \end{aligned}\text{。}

Find the sum

\begin{aligned} &\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\cdots\\ &\quad+\frac1{(2n-1)(2n+1)}+\cdots\\ &\quad+\frac1{255\cdot257}. \end{aligned}

\frac{127}{255}

\frac{128}{255}

\frac12

\frac{128}{257}

\frac{129}{257}

答案：D

知识点：裂项相消部分分式求和

难度评级：1690

小提示：

将

\frac1{(2n-1)(2n+1)}

分解为两个单位分数之差

Decompose

\frac1{(2n-1)(2n+1)}

into two unit fractions

大提示：

最后一项的分母对应

n=128

The last denominator corresponds to

n=128

解答：

对

1\le n\le128

，有

\begin{gathered} \frac1{(2n-1)(2n+1)}\\ =\frac1{2(2n-1)}-\frac1{2(2n+1)} \end{gathered}\text{。}

因此，逐项相消后，原和为

\frac12\left(1-\frac1{257}\right)=\frac{128}{257}\text{。}

因此，正确答案是 D。

For

1\le n\le128,

\begin{gathered} \frac1{(2n-1)(2n+1)}\\ =\frac1{2(2n-1)}-\frac1{2(2n+1)}. \end{gathered}

Hence the sum telescopes to

\frac12\left(1-\frac1{257}\right)=\frac{128}{257}.

Therefore, the correct answer is D.

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