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1978 AMC 12 第 15 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

若

\sin x+\cos x=\frac15

，且

0\le x\lt\pi

，则

\tan x

为

If

\sin x+\cos x=\frac15

and

0\le x\lt\pi,

then

\tan x

is

-\frac43

-\frac34

\frac34

\frac43

由已知信息无法完全确定

not completely determined by the given information

答案：A

知识点：三角恒等式二次方程分类讨论

难度评级：1650

小提示：

将已知方程两边平方，以求出

\sin x\cos x

Square the given equation to determine

\sin x\cos x

大提示：

将

\sin x

和

\cos x

视为一个二次方程的两根，再利用

0\le x\lt\pi

Treat

\sin x

and

\cos x

as roots of a quadratic, then use

0\le x\lt\pi

解答：

两边平方得到

1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25}

，所以

\sin x\cos x=-\frac{12}{25}

。因此

\sin x

和

\cos x

是下面这个方程的两根：

t^2-\frac15t-\frac{12}{25}=0\text{，}

即

\frac{4}{5}

和

-\frac{3}{5}

。在给定区间内

\sin x\ge0

，故

\sin x=\frac{4}{5}

，

\cos x=-\frac{3}{5}

。于是

\tan x=-\frac{4}{3}

。

因此，正确答案是 A。

Squaring gives

1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25},

so

\sin x\cos x=-\frac{12}{25}.

Thus

\sin x

and

\cos x

are the roots of

t^2-\frac15t-\frac{12}{25}=0,

namely

\frac{4}{5}

and

-\frac{3}{5}.

Because

\sin x\ge0

on the given interval,

\sin x=\frac{4}{5}

and

\cos x=-\frac{3}{5}.

Hence

\tan x=-\frac{4}{3}.

Therefore, the correct answer is A.

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