1978 AMC 12 Problema 15

Question

Si

\sin x+\cos x=\frac15

y

0\le x\lt\pi,

entonces

\tan x

es

If

\sin x+\cos x=\frac15

and

0\le x\lt\pi,

then

\tan x

is

-\frac43

-\frac34

\frac34

\frac43

no está completamente determinada por la información dada

not completely determined by the given information

Respuesta: A

Conceptos:identidad trigonométrica cuadrática análisis por casos

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Eleva al cuadrado la ecuación dada para determinar

\sin x\cos x

Square the given equation to determine

\sin x\cos x

Pista grande:

Considera

\sin x

y

\cos x

como raíces de una cuadrática y luego usa

0\le x\lt\pi

Treat

\sin x

and

\cos x

as roots of a quadratic, then use

0\le x\lt\pi

Solución:

Al elevar al cuadrado se obtiene

1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25},

de modo que

\sin x\cos x=-\frac{12}{25}.

Así,

\sin x

y

\cos x

son las raíces de

t^2-\frac15t-\frac{12}{25}=0,

es decir,

\frac{4}{5}

y

-\frac{3}{5}.

Como

\sin x\ge0

en el intervalo dado,

\sin x=\frac{4}{5}

y

\cos x=-\frac{3}{5}.

Por consiguiente,

\tan x=-\frac{4}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Squaring gives

1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25},

so

\sin x\cos x=-\frac{12}{25}.

Thus

\sin x

and

\cos x

are the roots of

t^2-\frac15t-\frac{12}{25}=0,

namely

\frac{4}{5}

and

-\frac{3}{5}.

Because

\sin x\ge0

on the given interval,

\sin x=\frac{4}{5}

and

\cos x=-\frac{3}{5}.

Hence

\tan x=-\frac{4}{3}.

Therefore, the correct answer is A.