1979 AMC 12 第 10 题

Question

正六边形

P_1P_2P_3P_4P_5P_6

的边心距（从中心到一条边中点的距离）为

2

。对于

i=1

、

2

、

3

、

4

，点

Q_i

是边

P_iP_{i+1}

的中点。四边形

Q_1Q_2Q_3Q_4

的面积是

If

P_1P_2P_3P_4P_5P_6

is a regular hexagon whose apothem (distance from the center to the midpoint of a side) is

2,

and

Q_i

is the midpoint of side

P_iP_{i+1}

for

i=1,

2,

3,

4,

then the area of quadrilateral

Q_1Q_2Q_3Q_4

is

6

2\sqrt6

\frac{8\sqrt3}{3}

3\sqrt3

4\sqrt3

答案：D

知识点：正多边形等边三角形面积分割

难度评级：1780

小提示：

各点

Q_i

位于一个半径等于该边心距的圆上

The points

Q_i

lie on a circle of radius equal to the apothem

大提示：

把中心与连续四条边的中点相连，再分割这个四边形

Join the center to the four consecutive side midpoints and decompose the quadrilateral

解答：

设

O

为中心。相邻的边心距

OQ_i

与

OQ_{i+1}

长度均为

2

，夹角为

60^\circ

，所以每个

\triangle OQ_iQ_{i+1}

都是边长为

2

的等边三角形。该四边形由三个这样的三角形组成，因此面积为

3\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=3\sqrt3\text{。}

因此，正确答案是 D。

Let

O

be the center. Consecutive apothems

OQ_i

and

OQ_{i+1}

have length

2

and form a

60^\circ

angle, so each

\triangle OQ_iQ_{i+1}

is equilateral of side

2.

The quadrilateral is the union of three such triangles, and hence has area

3\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=3\sqrt3.

Therefore, the correct answer is D.

1979 AMC 12 第 10 题

答案：D

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

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