1979 AMC 12 第 23 题

Question

正四面体的顶点为

A

、

B

、

C

和

D

，每条棱的长度都是一。点

P

位于棱

AB

上，点

Q

位于棱

CD

上。求

P

与

Q

之间距离的最小可能值。

The edges of a regular tetrahedron with vertices

A,

B,

C,

and

D

each have length one. Find the least possible distance between a pair of points

P

and

Q,

where

P

is on edge

AB

and

Q

is on edge

CD.

\frac12

\frac34

\frac{\sqrt2}{2}

\frac{\sqrt3}{2}

\frac{\sqrt3}{3}

答案：C

知识点：立体几何距离公式最优化

难度评级：2100

小提示：

用顶点为

(\pm1,\pm1,\pm1)

的对称坐标表示正四面体

Use symmetric coordinates for a regular tetrahedron with vertices

(\pm1,\pm1,\pm1)

大提示：

参数化两条对棱上的点，并使距离的平方最小

Parameterize points on the two opposite edges and minimize the squared distance

解答：

缩放之前，取

\begin{aligned} A&=(1,1,1),\\ B&=(1,-1,-1),\\ C&=(-1,1,-1),\\ D&=(-1,-1,1) \end{aligned}\text{。}

这些棱的长度为

2\sqrt2

，所以按比例因子

\frac{1}{2\sqrt2}

缩放。

AB

和

CD

上的点可分别写成

P=(1,t,t)

和

Q=(-1,u,-u)

。缩放前，

\begin{aligned} PQ^2&=4+(t-u)^2+(t+u)^2\\ &=4+2t^2+2u^2 \end{aligned}\text{，}

在

t=u=0

时取最小值。缩放后，最小距离的平方为

\frac{4}{8}=\frac{1}{2}

，所以距离为

\frac{\sqrt2}{2}

。

因此，正确答案是 C。

Before scaling, take

\begin{aligned} A&=(1,1,1),\\ B&=(1,-1,-1),\\ C&=(-1,1,-1),\\ D&=(-1,-1,1). \end{aligned}

These edges have length

2\sqrt2,

so scale by

\frac{1}{2\sqrt2}.

Points on

AB

and

CD

have forms

P=(1,t,t)

and

Q=(-1,u,-u).

Before scaling,

\begin{aligned} PQ^2&=4+(t-u)^2+(t+u)^2\\ &=4+2t^2+2u^2, \end{aligned}

minimized at

t=u=0.

After scaling, the minimum squared distance is

\frac{4}{8}=\frac{1}{2},

so the distance is

\frac{\sqrt2}{2}.

Therefore, the correct answer is C.

1979 AMC 12 第 23 题

答案：C

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

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