1979 AMC 12 第 24 题

Question

若一个多边形不自交，则称其为“简单”多边形。简单四边形

ABCD

的边

AB

、

BC

和

CD

的长度分别为

4

、

5

和

20

。若顶点

B

和

C

处的内角均为钝角，且

\sin C=-\cos B=\frac35

，则边

AD

的长度为多少？

A polygon is called “simple” if it is not self-intersecting. Sides

AB,

BC,

and

CD

of simple quadrilateral

ABCD

have lengths

4,

5,

and

20,

respectively. If vertex angles

B

and

C

are obtuse and

\sin C=-\cos B=\frac35,

then side

AD

has length

24

24.5

24.6

24.8

25

答案：E

知识点：坐标几何三角学距离公式

难度评级：2040

小提示：

取

B=(0,0)

、

C=(5,0)

，再利用钝角所确定的符号

Place

B=(0,0)

and

C=(5,0)

, then use the signs forced by the obtuse angles

大提示：

根据

3

-

4

-

5

的比例确定

A

与

D

的坐标

Determine coordinates for

A

and

D

from the

3

-

4

-

5

ratios

解答：

取

B=(0,0)

和

C=(5,0)

。因为

B

为钝角且

-\cos B=\frac{3}{5}

，可取

\begin{aligned} A&=4(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\\ &=(-\frac{12}{5},\frac{16}{5}) \end{aligned}\text{。}

简单四边形的构型以及

C

处的钝角给出

\begin{aligned} D&=C+20(\frac{4}{5},\frac{3}{5})\\ &=(21,12) \end{aligned}\text{。}

因此，

\begin{aligned} AD&=\sqrt{\begin{gathered} (21+\frac{12}{5})^2\\ {}+(12-\frac{16}{5})^2 \end{gathered}}\\ &=\sqrt{(\frac{117}{5})^2+(\frac{44}{5})^2}\\ &=25 \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 E。

Put

B=(0,0)

and

C=(5,0).

Since

B

is obtuse and

-\cos B=\frac{3}{5},

we may take

\begin{aligned} A&=4(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\\ &=(-\frac{12}{5},\frac{16}{5}). \end{aligned}

The simple configuration and the obtuse angle at

C

give

\begin{aligned} D&=C+20(\frac{4}{5},\frac{3}{5})\\ &=(21,12). \end{aligned}

Thus

\begin{aligned} AD&=\sqrt{\begin{gathered} (21+\frac{12}{5})^2\\ {}+(12-\frac{16}{5})^2 \end{gathered}}\\ &=\sqrt{(\frac{117}{5})^2+(\frac{44}{5})^2}\\ &=25. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.

1979 AMC 12 第 24 题

答案：E

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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