1979 AMC 12 第 28 题

Question

以

A

、

B

和

C

为圆心的三个圆半径均为

r

，其中

1\lt r\lt2

。任意两个圆心之间的距离都是

2

。设

B'

是圆

A

与圆

C

位于圆

B

外部的交点，

C'

是圆

A

与圆

B

位于圆

C

外部的交点，则

B'C'

的长度等于

Circles with centers

A,

B,

and

C

each have radius

r,

where

1\lt r\lt2.

The distance between each pair of centers is

2.

If

B'

is the point of intersection of circle

A

and circle

C

which is outside circle

B,

and if

C'

is the point of intersection of circle

A

and circle

B

which is outside circle

C,

then length

B'C'

equals

3r-2

r^2

r+\sqrt{3(r-1)}

1+\sqrt{3(r^2-1)}

以上都不是

none of these

答案：D

知识点：圆等边三角形相似对称性

难度评级：2200

小提示：

引入位于圆

A

外部的类似点

A'

；由对称性，

A'B'C'

是等边三角形

Introduce the analogous point

A'

outside circle

A

; symmetry makes

A'B'C'

equilateral

大提示：

利用共同的重心以及边长为

r

、

r

和

2

的等腰三角形的高

\sqrt{r^2-1}

Use the common centroid and the altitude

\sqrt{r^2-1}

of an isosceles triangle with sides

r,

r,

and

2

解答：

设

A'

为以

B

和

C

为圆心的两圆在外侧的对应交点。那么

A'B'C'

与

ABC

是同心的等边三角形。设

K

为它们的共同重心，

M

为

BC

的中点，则

\begin{aligned} A'M&=\sqrt{r^2-1},\\ MK&=\frac{\sqrt3}{3},\\ AK&=\frac{2\sqrt3}{3} \end{aligned}\text{。}

由相似性，

\begin{aligned} \frac{B'C'}2&=\frac{A'K}{AK}\\ &=\frac{\sqrt{r^2-1}+\frac{\sqrt3}{3}} {\frac{2\sqrt3}{3}} \end{aligned}\text{。}

因此

B'C'=1+\sqrt{3(r^2-1)}

。

因此，正确答案是 D。

Let

A'

be the analogous outer intersection of the circles centered at

B

and

C.

Then

A'B'C'

and

ABC

are concentric equilateral triangles. If

K

is their common centroid and

M

is the midpoint of

BC,

then

\begin{aligned} A'M&=\sqrt{r^2-1},\\ MK&=\frac{\sqrt3}{3},\\ AK&=\frac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}

Similarity gives

\begin{aligned} \frac{B'C'}2&=\frac{A'K}{AK}\\ &=\frac{\sqrt{r^2-1}+\frac{\sqrt3}{3}} {\frac{2\sqrt3}{3}}. \end{aligned}

Hence

B'C'=1+\sqrt{3(r^2-1)}.

Therefore, the correct answer is D.

1979 AMC 12 第 28 题

答案：D

难度评级：2200

小提示：

大提示：

解答：

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