Si b>1, sin x>0, cos x>0 y log_bsin x=a, entonces log_bcos x es igual a

1980 AMC 12 Problema 18

Intenta el Problema 18 del 1980 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1980 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

b\gt1,

\sin x\gt0,

\cos x\gt0

\log_b\sin x=a,

entonces

\log_b\cos x

es igual a

b\gt1,

\sin x\gt0,

\cos x\gt0

and

\log_b\sin x=a,

then

\log_b\cos x

equals

2\log_b(1-b^{\frac{a}{2}})

\sqrt{1-a^2}

b^{a^2}

\frac12\log_b(1-b^{2a})

ninguna de estas

none of these

Convierte

\log_b\sin x=a

en una ecuación exponencial

Convert

\log_b\sin x=a

into an exponential equation

Usa

\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}

y la positividad de

\cos x

Use

\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}

and the positivity of

\cos x

Tenemos

\sin x=b^a,

por lo que

\cos x=\sqrt{1-b^{2a}}.

Por consiguiente,

\log_b\cos x =\frac12\log_b(1-b^{2a}).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have

\sin x=b^a,

\cos x=\sqrt{1-b^{2a}}.

Therefore

\log_b\cos x =\frac12\log_b(1-b^{2a}).

Therefore, the correct answer is D.