1980 AMC 12 第 23 题

Question

从一个直角三角形中斜边所对的顶点，向斜边的两个三等分点各作一条线段。两条线段的长度分别为

\sin x

和

\cos x

，其中

x

是满足

0\lt x\lt\frac\pi2

的实数。斜边的长度为

Line segments drawn from the vertex opposite the hypotenuse of a right triangle to the points trisecting the hypotenuse have lengths

\sin x

and

\cos x,

where

x

is a real number such that

0\lt x\lt\frac\pi2.

The length of the hypotenuse is

\frac43

\frac32

\frac{3\sqrt5}{5}

\frac{2\sqrt5}{3}

由所给信息不能唯一确定

not uniquely determined by the given information

答案：C

知识点：直角三角形坐标几何勾股定理

难度评级：2100

小提示：

把斜边放在

x

轴上，并为直角顶点设坐标

Put the hypotenuse on the

x

-axis and assign coordinates to the right-angle vertex

大提示：

把从直角顶点到两个三等分点的线段长度的平方相加，使未知的水平位置消去

Add the squares of the two trisector-segment lengths so the unknown horizontal position cancels

解答：

设斜边端点为

(0,0)

和

(h,0)

，直角顶点为

(u,v)

。直角条件给出

u^2+v^2=hu

。到

(\frac{h}{3},0)

与

(\frac{2h}{3},0)

的距离平方之和为

\begin{aligned} &(u-\frac{h}{3})^2+v^2\\ &\quad+(u-\frac{2h}{3})^2+v^2 =\frac{5h^2}{9} \end{aligned}\text{。}

另一方面，这个和也等于

\sin^2x+\cos^2x=1

。因此

h=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}

。

因此，正确答案是 C。

Let the hypotenuse have endpoints

(0,0)

and

(h,0),

and let the right-angle vertex be

(u,v).

The right-angle condition gives

u^2+v^2=hu.

The squared distances to

(\frac{h}{3},0)

and

(\frac{2h}{3},0)

sum to

\begin{aligned} &(u-\frac{h}{3})^2+v^2\\ &\quad+(u-\frac{2h}{3})^2+v^2 =\frac{5h^2}{9}. \end{aligned}

This also equals

\sin^2x+\cos^2x=1.

Hence

h=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}.

Therefore, the correct answer is C.

1980 AMC 12 第 23 题

答案：C

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

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