1980 AMC 12 第 22 题

Question

对每个实数

x

，令

f(x)

为

4x+1

、

x+2

和

-2x+4

三者中的最小值。则

f(x)

的最大值为

For each real number

x,

let

f(x)

be the minimum of the numbers

4x+1,

x+2,

and

-2x+4.

Then the maximum value of

f(x)

is

\frac13

\frac12

\frac23

\frac52

\frac83

答案：E

知识点：函数最优化一次方程

难度评级：1980

小提示：

画出三条直线，并观察它们的下包络线

Sketch the three lines and follow their lower envelope

大提示：

最大值出现在起作用的递增直线与递减直线的交点处

The maximum occurs where the active increasing line meets the decreasing line

解答：

下包络线先取

4x+1

，直到它与

x+2

于

x=\frac{1}{3}

相交；随后取

x+2

，直到它与

-2x+4

于

x=\frac{2}{3}

相交；此后则取

-2x+4

。因此最大值在

x=\frac{2}{3}

处取得，等于

\frac23+2=\frac83\text{。}

因此，正确答案是 E。

The lower envelope is

4x+1

until it meets

x+2

at

x=\frac{1}{3},

then is

x+2

until that line meets

-2x+4

at

x=\frac{2}{3},

and thereafter is

-2x+4.

Thus its maximum occurs at

x=\frac{2}{3}

and equals

\frac23+2=\frac83.

Therefore, the correct answer is E.

1980 AMC 12 第 22 题

答案：E

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题