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1980 AMC 12 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

在非递减的奇整数数列

\begin{aligned} (a_1,a_2,a_3,\ldots) ={}&(1,3,3,3,\\ &5,5,5,5,5,\ldots) \end{aligned}

中，每个正奇数

k

出现

k

次。已知存在整数

b

、

c

和

d

，使得对所有正整数

n

，

a_n=b\left\lfloor\sqrt{n+c}\right\rfloor+d\text{，}

其中

\lfloor x\rfloor

表示不超过

x

的最大整数。

b+c+d

的值为

In the nondecreasing sequence of odd integers

\begin{aligned} (a_1,a_2,a_3,\ldots) ={}&(1,3,3,3,\\ &5,5,5,5,5,\ldots) \end{aligned}

each positive odd integer

k

appears

k

times. It is a fact that there are integers

b,

c,

and

d

such that, for all positive integers

n,

a_n=b\left\lfloor\sqrt{n+c}\right\rfloor+d,

where

\lfloor x\rfloor

denotes the largest integer not exceeding

x.

The sum

b+c+d

equals

0

1

2

3

4

答案：C

知识点：取整函数前n个奇数之和找规律

难度评级：2200

小提示：

前

m

个正奇数之和为

m^2

The first

m

positive odd integers have sum

m^2

大提示：

用

\sqrt{n-1}

的下取整表示满足

m^2\ge n

的最小

m

Express the least

m

with

m^2\ge n

using a floor of

\sqrt{n-1}

解答：

2m-1

最后一次出现的位置是

1+3+\cdots+(2m-1)=m^2\text{。}

因此

\begin{aligned} a_n&=2\left\lceil\sqrt n\right\rceil-1\\ &=2\left\lfloor\sqrt{n-1}\right\rfloor+1 \end{aligned}\text{。}

所以

b=2

、

c=-1

、

d=1

，从而

b+c+d=2

。

因此，正确答案是 C。

The final occurrence of

2m-1

is in position

1+3+\cdots+(2m-1)=m^2.

Therefore

\begin{aligned} a_n&=2\left\lceil\sqrt n\right\rceil-1\\ &=2\left\lfloor\sqrt{n-1}\right\rfloor+1. \end{aligned}

Thus

b=2,

c=-1,

and

d=1,

so

b+c+d=2.

Therefore, the correct answer is C.

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