1964 AMC 12 第 25 题

Question

使

x^2+3xy+x+my-m

能分解为两个关于

x

和

y

的整系数一次因式的

m

值恰好是：

The set of values of

m

for which

x^2+3xy+x+my-m

has two factors, with integer coefficients, which are linear in

x

and

y,

is precisely:

0

、

12

、

-12

0,

12,

-12

0

、

12

0,

12

12

、

-12

12,

-12

12

0

答案：B

知识点：因式分解多项式方程组

难度评级：1870

小提示：

将因式写成

(x+ay+b)(x+cy+d)

Write the factors as

(x+ay+b)(x+cy+d)

大提示：

缺少

y^2

项且交叉项为

3xy

，这迫使

\{a,c\}=\{0,3\}

The missing

y^2

-term and the

3xy

-term force

\{a,c\}=\{0,3\}

解答：

将分解式写成

(x+ay+b)(x+cy+d)

。比较

y^2

和

xy

的系数，得

ac=0

且

a+c=3

，可取

a=0

、

c=3

。其余系数给出

\begin{aligned} b+d&=1,\\ bd&=-m,\\ 3b&=m\text{。} \end{aligned}

因而

b(d+3)=0

。若

b=0

，则

m=0

；否则

d=-3

、

b=4

，且

m=12

。这两个值都能得到有效的整系数因式分解。

因此，正确答案是 B。

Write the factorization as

(x+ay+b)(x+cy+d).

Comparing the

y^2

and

xy

coefficients gives

ac=0

and

a+c=3,

so take

a=0,

c=3.

The other coefficients give

\begin{aligned} b+d&=1,\\ bd&=-m,\\ 3b&=m. \end{aligned}

Hence

b(d+3)=0.

If

b=0,

then

m=0;

otherwise

d=-3,

b=4,

and

m=12.

Both values produce valid integer factorizations.

Therefore, the correct answer is B.

1964 AMC 12 第 25 题

答案：B

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

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