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1994 AMC 12 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

若

x

和

y

是非零实数，满足

|x|+y=3

以及

|x|y+x^3=0\text{，}

则最接近

x-y

的整数是

If

x

and

y

are non-zero real numbers such that

|x|+y=3

and

|x|y+x^3=0,

then the integer nearest to

x-y

is

-3

-1

2

3

5

答案：A

知识点：绝对值 systems of equations

难度评级：2080

小提示：

分别考虑

x

的正负

Consider the signs of

x

separately

大提示：

当

x\lt0

时，令

t=-x

，并将

y=t^2

与

t+y=3

联立

For

x\lt0,

put

t=-x

and combine

y=t^2

with

t+y=3

解答：

若

x\gt0

，第二个方程给出

y=-x^2

，而第一个方程给出

y=3-x

；这要求

x^2-x+3=0

，但它没有实根。因此

x\lt0

。令

t=-x\gt0

。两个方程变为

t+y=3

和

ty-t^3=0

，所以

y=t^2

。因此

x-y=-t-t^2=-3

，它本身就是整数。所以正确答案是 A。

If

x\gt0,

the second equation gives

y=-x^2,

while the first gives

y=3-x;

these would require

x^2-x+3=0,

which has no real root. Hence

x\lt0.

Put

t=-x\gt0.

Then the equations become

t+y=3

and

ty-t^3=0,

so

y=t^2.

Therefore

x-y=-t-t^2=-3,

already an integer. Thus the correct answer is A.

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