1976 AMC 12 第 25 题

Question

对于数列

u_1

、

u_2

、

\ldots

，定义

\Delta^1(u_n)=u_{n+1}-u_n

，并对所有整数

k\gt1

定义

\Delta^k(u_n)=\Delta^1(\Delta^{k-1}(u_n))

。若

u_n=n^3+n

，则对所有

n

，都有

\Delta^k(u_n)=0

For a sequence

u_1,

u_2,

\ldots,

define

\Delta^1(u_n)=u_{n+1}-u_n

and, for all integers

k\gt1,

\Delta^k(u_n)=\Delta^1(\Delta^{k-1}(u_n)).

If

u_n=n^3+n,

then

\Delta^k(u_n)=0

for all

n

当

k=1

时

if

k=1

当

k=2

时，但

k=1

时不成立

if

k=2,

but not if

k=1

当

k=3

时，但

k=2

时不成立

if

k=3,

but not if

k=2

当

k=4

时，但

k=3

时不成立

if

k=4,

but not if

k=3

不存在这样的

k

for no value of

k

答案：D

知识点：多项式递推找规律

难度评级：1830

小提示：

多项式数列每作一次向前差分，次数就降低一

Each forward difference lowers the degree of a polynomial sequence by one

大提示：

一直计算到恒定的三阶差分，就能看出何时首次得到零

Compute through the constant third difference to see when zero first appears

解答：

直接计算得

\begin{aligned} \Delta u_n&=3n^2+3n+2,\\ \Delta^2u_n&=6n+6,\\ \Delta^3u_n&=6,\\ \Delta^4u_n&=0 \end{aligned}\text{。}

因此四阶差分对所有

n

都为零，而三阶差分不为零。

所以正确答案是 D。

Directly,

\begin{aligned} \Delta u_n&=3n^2+3n+2,\\ \Delta^2u_n&=6n+6,\\ \Delta^3u_n&=6,\\ \Delta^4u_n&=0. \end{aligned}

Thus the fourth differences vanish for all

n,

but the third differences do not.

Therefore, the correct answer is D.

1976 AMC 12 第 25 题

答案：D

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

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