1987 AMC 12 第 25 题

Question

ABC

是一个三角形，其中

A=(0,0)

、

B=(36,15)

，且点

C

的两个坐标都是整数。

\triangle ABC

的面积最小可以是多少？

ABC

is a triangle:

A=(0,0),

B=(36,15),

and both the coordinates of

C

are integers. What is the minimum area

\triangle ABC

can have?

\frac12

1

\frac32

\frac{13}{2}

不存在最小值

there is no minimum

答案：C

知识点：坐标几何 determinant area 最大公约数

难度评级：2170

小提示：

令

C=(u,v)

，并使用三角形面积的行列式公式

Write

C=(u,v)

and use the determinant formula for triangle area

大提示：

求出

|36v-15u|

的最小正值时，利用

\gcd(36,15)

Find the smallest positive value of

|36v-15u|

using

\gcd(36,15)

解答：

对于

C=(u,v)

，三角形的面积为

\frac12|36v-15u|\text{。}

因为

\gcd(36,15)=3

，所以行列式的最小正值至少是

3

。这个值确实可以取得，例如取

u=7,\ v=3

，就有

36(3)-15(7)=3

。因此最小面积为

\frac{3}{2}

。

因此，正确答案是 C。

For

C=(u,v),

the area is

\frac12|36v-15u|.

Since

\gcd(36,15)=3,

the smallest possible positive value of the determinant is at least

3.

It is attained, for example, by

u=7,\ v=3,

since

36(3)-15(7)=3.

Therefore the minimum area is

\frac{3}{2}.

Thus the correct answer is C.

1987 AMC 12 第 25 题

答案：C

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

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