1995 AMC 12 第 25 题

Question

一个由五个正整数组成的数列，平均数为

12

，极差为

18

，众数和中位数都为

8

。数列中第二大元素可能有多少个不同的值？

A list of five positive integers has mean

12

and range

18.

The mode and median are both

8.

How many different values are possible for the second largest element of the list?

4

6

8

10

12

答案：B

知识点：平均数 median 众数 integer cases

难度评级：2070

小提示：

将五个整数排序；中位数和众数条件迫使至少两个数等于

8

Sort the five integers; the median and mode force at least two entries to equal

8

大提示：

设最小元素为

m

，利用极差和总和表示第二大元素

Let the smallest entry be

m

and use the range and total sum to express the second largest entry

解答：

将排序后的数列写成

m,8,8,d,m+18

。（若第四个数也是

8

，总和与排序条件将无法同时满足。）由于总和为

5(12)=60

，有

m+8+8+d+(m+18)=60\text{，}

所以

d=26-2m

。条件

8\le d\le m+18

和

m\le8

给出

3\le m\le8

。这六个取值分别得到

d=20

、

18

、

16

、

14

、

12

、

10

，均有效。因此共有

6

种可能，正确答案是 B。

Write the sorted list as

m,8,8,d,m+18.

(If the fourth entry were

8,

the sum and ordering conditions would be impossible.) Since the total is

5(12)=60,

m+8+8+d+(m+18)=60,

so

d=26-2m.

The conditions

8\le d\le m+18

and

m\le8

give

3\le m\le8.

These six values yield

d=20,

18,

16,

14,

12,

10,

all valid. Thus there are

6

possibilities, and the correct answer is B.

1995 AMC 12 第 25 题

答案：B

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

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