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1983 AMC 12 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

若

60^a=3

且

60^b=5

，则

12^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}}

为

If

60^a=3

and

60^b=5,

then

12^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}}

is

\sqrt3

2

\sqrt5

3

\sqrt{12}

答案：B

知识点：对数指数代数变形

难度评级：2310

小提示：

将

1-a-b

和

1-b

表示为以

60

为底的对数

Express

1-a-b

and

1-b

as base-

60

logarithms

大提示：

利用

1-a-b=\log_{60}4

和

1-b=\log_{60}12

Use

1-a-b=\log_{60}4

and

1-b=\log_{60}12

解答：

由于

a=\log_{60}3

且

b=\log_{60}5

，

\begin{aligned} 1-a-b &=\log_{60}\frac{60}{15}=\log_{60}4,\\ 1-b &=\log_{60}\frac{60}{5}=\log_{60}12 \end{aligned}\text{。}

因此指数为

\frac12\log_{12}4

，且

12^{(\frac{1}{2})\log_{12}4}=\sqrt4=2\text{。}

所以正确答案是 B。

Since

a=\log_{60}3

and

b=\log_{60}5,

\begin{aligned} 1-a-b &=\log_{60}\frac{60}{15}=\log_{60}4,\\ 1-b &=\log_{60}\frac{60}{5}=\log_{60}12. \end{aligned}

Therefore the exponent is

\frac12\log_{12}4,

and

12^{(\frac{1}{2})\log_{12}4}=\sqrt4=2.

Therefore, the correct answer is B.

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