1984 AMC 12 第 25 题

Question

一个长方体所有面的总面积为

22\text{ cm}^2

，所有棱的总长度为

24\text{ cm}

。那么它任意一条体对角线的长度（单位：厘米）为

The total area of all the faces of a rectangular solid is

22\text{ cm}^2,

and the total length of all its edges is

24\text{ cm}.

Then the length in cm of any one of its internal diagonals is

\sqrt{11}

\sqrt{12}

\sqrt{13}

\sqrt{14}

不能唯一确定

not uniquely determined

设三条棱长为

x,y,z

，并将两个总量分别写成方程

Let the side lengths be

x,y,z

and translate both totals into equations

展开

(x+y+z)^2

，求出

x^2+y^2+z^2

Expand

(x+y+z)^2

to find

x^2+y^2+z^2

条件给出

2(xy+xz+yz)=22

和

4(x+y+z)=24

，所以

xy+xz+yz=11

，且

x+y+z=6

。因此，一条体对角线长度的平方为

x^2+y^2+z^2=6^2-2(11)=14\text{。}

其长度为

\sqrt{14}

。

所以正确答案是 D。

The conditions give

2(xy+xz+yz)=22

and

4(x+y+z)=24,

so

xy+xz+yz=11

and

x+y+z=6.

Hence the square of an internal diagonal is

x^2+y^2+z^2=6^2-2(11)=14.

Its length is

\sqrt{14}.

Therefore, the correct answer is D.

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