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1990 AMC 12 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

图中，

ABCD

是一个四边形，

A

和

C

均为直角。点

E

和

F

位于

\overline{AC}

上，且

\overline{DE}

和

\overline{BF}

都垂直于

\overline{AC}

。若

AE=3

、

DE=5

、

CE=7

，则

BF=

In the figure,

ABCD

is a quadrilateral with right angles at

A

and

C.

Points

E

and

F

are on

\overline{AC},

and

\overline{DE}

and

\overline{BF}

are perpendicular to

\overline{AC}.

If

AE=3,

DE=5,

and

CE=7,

then

BF=

3.6

4

4.2

4.5

5

答案：C

知识点：坐标几何 perpendicular lines 方程组

难度评级：1910

小提示：

将

\overline{AC}

放在

x

轴上，并令

A=(0,0)

Place

\overline{AC}

on the

x

-axis with

A=(0,0)

大提示：

利用点积表示

A

和

C

处的直角条件

Use dot products for the right angles at

A

and

C

解答：

令

A=(0,0)

、

E=(3,0)

、

C=(10,0)

、

D=(3,-5)

、

B=(f,h)

，其中

h=BF

。因为

AB\perp AD

，

(f,h)\cdot(3,-5)=0\text{，}

所以

3f=5h

。因为

BC\perp DC

，

(f-10,h)\cdot(-7,-5)=0\text{，}

所以

7f+5h=70

。代入可得

f=7

和

h=\frac{21}{5}=4.2

。

所以正确答案是 C。

Set

A=(0,0),

E=(3,0),

C=(10,0),

D=(3,-5),

and

B=(f,h),

where

h=BF.

Since

AB\perp AD,

(f,h)\cdot(3,-5)=0,

so

3f=5h.

Since

BC\perp DC,

(f-10,h)\cdot(-7,-5)=0,

so

7f+5h=70.

Substitution gives

f=7

and

h=\frac{21}{5}=4.2.

Thus the correct answer is C.

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