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1991 AMC 12 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

满足

\begin{aligned} &(2^x-4)^3+(4^x-2)^3\\ &\qquad=(4^x+2^x-6)^3 \end{aligned}

的所有实数

x

之和为

The sum of all real

x

such that

\begin{aligned} &(2^x-4)^3+(4^x-2)^3\\ &\qquad=(4^x+2^x-6)^3 \end{aligned}

is

\frac32

2

\frac52

3

\frac72

答案：E

知识点：sum of cubes exponential equation 因式分解

难度评级：1950

小提示：

令

a=2^x-4

，

b=4^x-2

Set

a=2^x-4

and

b=4^x-2

大提示：

把

a^3+b^3-(a+b)^3

分解为

-3ab(a+b)

Factor

a^3+b^3-(a+b)^3

as

-3ab(a+b)

解答：

令

a=2^x-4

，

b=4^x-2

。右边为

(a+b)^3

，所以

a^3+b^3=(a+b)^3

等价于

ab(a+b)=0

。三种情形分别给出

2^x=4

、

4^x=2

或

4^x+2^x=6

，对应的实数解分别为

x=2,\frac12

和

1

。它们的和为

2+\frac12+1=\frac72

。

因此正确答案为 E。

Let

a=2^x-4

and

b=4^x-2.

The right side is

(a+b)^3,

so

a^3+b^3=(a+b)^3

is equivalent to

ab(a+b)=0.

The cases give

2^x=4,

4^x=2,

or

4^x+2^x=6,

whose real solutions are

x=2,\frac12,

and

1,

respectively. Their sum is

2+\frac12+1=\frac72.

Thus the correct answer is E.

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